贝塞尔曲线

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。

n 阶贝塞尔曲线的一般表示形式为：

$$ B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i b_{i,n}(t), t \in [0, 1] $$

其中 $b_{i,n}(t)$ 为 n 阶的伯恩斯坦多项式，$P_i$ 为控制点。

$$ \begin{split} b_{i,n}(t) &= (1 - t)b_{i,n-1}(t) + tb_{i-1,n-1}(t) \newline &= \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n - i} \newline \binom{n}{i} &= \frac{n!}{i!(n - i)!} \end{split} $$

为了将其展开为关于 $t$ 的幂级数（即转换为幂基形式 $t^j$），我们需要对 $(1-t)^{n-i}$ 使用二项式定理展开。

展开 $(1-t)^{n-i}$：
根据二项式定理 $(a+b)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} a^{k-j} b^j$，令 $a=1, b=-t, k=n-i$：
$$(1-t)^{n-i} = \sum_{k=0}^{n-i} \binom{n-i}{k} 1^{n-i-k} (-t)^k = \sum_{k=0}^{n-i} \binom{n-i}{k} (-1)^k t^k$$
代入原式：
$$b_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i \left[ \sum_{k=0}^{n-i} \binom{n-i}{k} (-1)^k t^k \right]$$
合并 $t$ 的幂次：
将 $t^i$ 乘进求和符号内，令 $j = i + k$（即 $k = j - i$）：
$$b_{i,n}(t) = \sum_{j=i}^{n} \binom{n}{i} \binom{n-i}{j-i} (-1)^{j-i} t^j$$

最终展开公式：

$$ \begin{split} b_{i,n}(t) &= \sum_{j=i}^{n} \left[ \binom{n}{i} \binom{n-i}{j-i} (-1)^{j-i} \right] t^j \newline &= \sum_{j=i}^{n} M_{i,j} t^j \newline M_{i,j} &= \begin{cases} \binom{n}{i} \binom{n-i}{j-i} (-1)^{j-i} & j \geq i \\ 0 & j < i \end{cases} \end{split} $$