贝塞尔曲面

贝塞尔曲面是贝塞尔曲线向二维参数空间的扩展，通常通过两个方向的张量积（Tensor Product）定义。

基础公式（累加形式）#

给定一个 $(n+1) \times (m+1)$ 的控制点网格 $P_{i,j}$，曲面 $S(u, v)$ 定义为：

其中：

• $u, v \in [0, 1]$ 是参数。
• $B_{i,n}(u)$ 和 $B_{j,m}(v)$ 是伯恩斯坦多项式。

矩阵展开形式#

为了便于计算，通常将曲面公式展开为矩阵乘法形式：

矩阵分量说明：

• $\mathbf{U}$: $u$ 的幂基向量 $[1, u, u^2, \dots, u^n]^T$。
• $\mathbf{V}$: $v$ 的幂基向量 $[1, v, v^2, \dots, v^m]^T$。
• $\mathbf{M}_n, \mathbf{M}_m$: 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶的 Bézier 基矩阵（即前面推导过的上三角矩阵）。
• $\mathbf{P}$: 控制点矩阵，每一个元素 $P_{i,j}$ 通常是一个三维坐标 $(x, y, z)$。

代数展开（幂基形式）#

如果将伯恩斯坦多项式直接展开并代入，曲面可以表示为关于 $u$ 和 $v$ 的多项式：

其中系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的计算公式为：

在这个公式中：

• $A_{k,l}$ 是 $u^k v^l$ 项对应的系数（同样是 3D 向量）。
• 一旦计算出 $\mathbf{A}$，对于任何 $(u, v)$，只需进行简单的幂次累加即可求点，这在实时渲染中效率很高。

总结#

• 物理意义：曲面是由 $u$ 方向的贝塞尔曲线在 $v$ 方向扫掠而成的。
• 计算关键：先计算两个方向的基矩阵 $M$，然后通过矩阵乘法 $\mathbf{M}^T \mathbf{P} \mathbf{M}$ 预处理出系数，最后带入参数 $u, v$。

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